三角形と四角形・30問

68°

1. AB＝ACなので、∠ABC＝∠ACB。
2. 三角形の内角の和は180°だから、底角2つの和は180°−44°＝136°。
3. 136°÷2＝68°。

76°

1. 等しい辺の向かいの角は等しいので、∠ACB＝52°。
2. ∠BAC＝180°−52°−52°＝76°。

AB＝AC

1. 三角形の2つの角が等しければ、その向かいの辺が等しい。
2. ∠ABCの向かいのACと、∠ACBの向かいのABが等しい。

1つの内角は60°。正三角形も「2つの辺が等しい」を満たす。

1. 3辺が等しいので、3つの内角はすべて等しい。
2. 180°÷3＝60°。
3. 3辺が等しければ、そのうち2辺も等しい。だから二等辺三角形の定義を満たす。

△ABD≡△ACDより、∠ABC＝∠ACB。

1. △ABDと△ACDで、AB＝AC（仮定）、BD＝CD（Dは中点）、AD＝AD（共通）。
2. 3組の辺がそれぞれ等しいので、△ABD≡△ACD。
3. 合同な図形の対応する角は等しいので、∠ABD＝∠ACD。
4. Dは辺BC上にあるので、∠ABC＝∠ACB。

BC

1. 斜辺は直角の向かいにある辺。
2. 直角の頂点Aを通らない辺BCが斜辺だよ。

合同。条件は「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」。BCに対応する辺はEF。

1. どちらも直角三角形で、斜辺AC＝DF。
2. 他の1辺AB＝DEだから、△ABC≡△DEF。
3. 対応はA↔D、B↔E、C↔F。したがってBC＝EF。

直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいから。

1. 2つの三角形は直角三角形。
2. 斜辺BC＝EF、鋭角∠ABC＝∠DEFがそれぞれ等しい。
3. したがって△ABC≡△DEF。
4. 通常の合同条件でも説明できるよ。残る鋭角も等しいので、辺BC・EFとその両端の角がそれぞれ等しい。

合同とはいえない。辺の長さを2倍にすると、角は同じでも大きさが変わる。

1. 例えば、3辺が3cm・4cm・5cmの直角三角形と、6cm・8cm・10cmの直角三角形。
2. 対応する角は等しいが、対応する辺の長さが違うので合同ではない。
3. 斜辺などの長さが等しいという条件も必要だよ。

△AHP≡△AKPより、PH＝PK。

1. △AHPと△AKPで、∠AHP＝∠AKP＝90°。
2. AP＝AP（共通の斜辺）、∠HAP＝∠KAP（角の二等分線）。
3. 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、△AHP≡△AKP。
4. 対応する辺が等しいのでPH＝PK。線までの距離は垂線の長さで表すよ。

7cm

1. 平行四辺形の対辺の長さは等しい。
2. CDの対辺はABだから、CD＝AB＝7cm。AD＝BC＝4cmも分かるよ。

112°

1. 平行四辺形の隣り合う角の和は180°。
2. ∠ABC＝180°−68°＝112°。
3. 対角も等しいので、∠BCD＝68°、∠CDA＝112°。

8cm

1. 平行四辺形の対角線は互いの中点で交わる。
2. DO＝BO＝4cmだから、BD＝4＋4＝8cm。
3. CO＝AO＝3cmで、AC＝6cm。ACとBDが同じ長さになるわけではないよ。

△ABC≡△CDAより、2組の対辺はそれぞれ等しい。

1. AB∥CDより、∠BAC＝∠DCA（錯角）。BC∥ADより、∠BCA＝∠DAC（錯角）。
2. AC＝CA（共通）。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ABC≡△CDA。
3. 対応する辺は等しいから、AB＝CD、BC＝DA。

いつも正しくはない。「対角線は互いの中点で交わる」が正しい性質。

1. 例えば、問13ではAC＝6cm、BD＝8cmで、長さは等しくない。
2. しかしAO＝CO＝3cm、BO＝DO＝4cmと、それぞれは半分になっている。
3. 2本の対角線が等しいのは、長方形などの特別な場合だよ。

平行四辺形といえる。2組の対辺がそれぞれ等しいから。

1. 対角線ACを引くと、AB＝CD、BC＝DA、AC＝CA。
2. 3組の辺がそれぞれ等しいので△ABC≡△CDA。
3. 対応する角が等しいので、錯角が等しいことからAB∥CD、BC∥AD。
4. よって四角形ABCDは平行四辺形。

1組の対辺が平行で、その長さが等しいから。

1. 対角線ACを引くと、AB＝CD、AC＝CA、∠BAC＝∠DCA（錯角）。
2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△BAC≡△DCA。
3. ∠BCA＝∠DACよりBC∥AD。もとのAB∥CDと合わせて2組の対辺が平行になる。

必ずはならない。例えば、上底ABが4cm、下底CDが8cmの等脚台形。

1. ABとCDが平行で、左右の辺ADとBCが等しい台形をかける。
2. この台形はABとCDの長さが違うため、平行四辺形ではない。
3. 「平行」と「等しい」は同じ1組の対辺について必要だよ。

△AOB≡△CODより、AB＝CD、AB∥CD。よって平行四辺形。

1. △AOBと△CODで、AO＝CO、BO＝DO（仮定）、∠AOB＝∠COD（対頂角）。
2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOB≡△COD。
3. 対応する辺からAB＝CD、対応する角から∠ABO＝∠CDO。錯角が等しいのでAB∥CD。
4. 1組の対辺が平行でその長さが等しいから、四角形ABCDは平行四辺形。

∠A＋∠B＝180°。2組の対辺がそれぞれ平行になる。

1. 内角の和より、∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°。
2. ∠A＝∠C、∠B＝∠Dなので2(∠A＋∠B)＝360°。よって∠A＋∠B＝180°。
3. この関係からAD∥BC。また∠B＋∠C＝180°からAB∥CD。
4. 2組の対辺がそれぞれ平行なので、平行四辺形。

長方形でも、ひし形でも、平行四辺形でもある。

1. 正方形は4つの角が直角なので長方形。
2. 4つの辺が等しいのでひし形。
3. 長方形もひし形も、2組の対辺がそれぞれ平行なので平行四辺形。

△ABC≡△BADより隣り合う角が等しく、ともに90°になるので長方形。

1. △ABCと△BADで、AB＝BA（共通）、BC＝AD（平行四辺形の対辺）、AC＝BD（仮定）。
2. 3組の辺がそれぞれ等しいので、△ABC≡△BAD。したがって∠ABC＝∠BAD。
3. 平行四辺形の隣り合う角の和は180°だから、どちらも90°。
4. 対角も等しいので4つの角が直角となり、長方形である。

△AOB≡△COBよりAB＝CB。対辺も等しいので4辺が等しく、ひし形。

1. AO＝CO（対角線は互いの中点で交わる）、OB＝OB（共通）、∠AOB＝∠COB＝90°。
2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AOB≡△COB。よってAB＝CB。
3. 平行四辺形の対辺の性質でAB＝CD、BC＝AD。
4. 4つの辺がすべて等しいので、ひし形である。

逆は「長方形ならば正方形である」。この逆は正しくない。

1. 縦2cm、横5cmの長方形を考える。
2. 4つの角は直角なので長方形だが、4辺は等しくないので正方形ではない。
3. 元の命題が正しくても、逆が正しいとは限らないよ。

正方形

1. 平行四辺形で対角線が等しいので長方形。
2. 平行四辺形で対角線が垂直なのでひし形。
3. 4つの角が直角で、4つの辺が等しいので正方形。

40°

1. 棒を線分とみると、AB＝ACの二等辺三角形。
2. 底角は等しいので、∠ABC＝(180°−100°)÷2＝40°。
3. 屋根の左下の内角は40°。右下の内角も40°になるよ。

平行四辺形。対角線が互いの中点で交わるから。

1. AO＝CO＝5cm、BO＝DO＝8cm。
2. 対角線が互いの中点で交わるので、四角形ABCDは平行四辺形。
3. 開く角度を変えても、中点で留める条件が保たれる間は平行四辺形のままだよ。
4. 対角線の長さは違うので、この条件では長方形にはならない。

12cm²。底辺と高さが変わらないので面積も変わらない。

1. 平行な2直線の間の距離は一定なので、Aを動かしても高さは4cm。
2. 面積＝底辺×高さ÷2＝6×4÷2＝12cm²。
3. 底辺BCを固定し、Aが同じ平行線上を動く間は面積が変わらない。

AD⊥BC。ADは∠BACの二等分線でもある。

1. 合同な三角形の対応する角より、∠ADB＝∠ADC。
2. B・D・Cは一直線上なので、この2角の和は180°。
3. 等しい2角の和が180°だから、それぞれ90°。よってAD⊥BC。
4. さらに対応する角∠BAD＝∠CADより、ADは頂角の二等分線でもある。

必ず正方形になるとはいえない。図は対角線がともに4cmで垂直だが、正方形ではない。

1. AC＝3＋1＝4cm、BD＝2＋2＝4cmだから、対角線の長さは等しい。垂直という条件も満たす。
2. AO≠COなので、対角線は互いの中点で交わっていない。
3. 正方形は平行四辺形でもあるため、対角線が互いの中点で交わるはず。したがってこの図は正方形ではない。
4. 問25の「平行四辺形である」という仮定は省けない。