展開と因数分解の問題プリント

練習48問と解答を印刷できるよ。問題用紙の余白が足りないときは、ノートも使おう。

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1. 分けてかける・分けて割る

分配法則を使って、すべての項にかけたり割ったりしよう。

次の式を計算しよう。
$3 (x + 4)$
次の式を計算しよう。
$- 2 (x - 5)$
次の式を計算しよう。
$2 x (x + 3)$
次の式を計算しよう。
$- 3 a (2 a - b)$
次の式を計算しよう。（x ≠ 0）
$\frac{12 x^{2} + 8 x}{4 x}$
次の式を計算しよう。（b ≠ 0）
$\frac{15 a b - 10 b}{- 5 b}$

2. 2つのかっこを展開する

4つの積をつくって、同類項をまとめよう。

次の式を計算しよう。
$(x + 2) (x + 5)$
次の式を計算しよう。
$(x + 3) (x - 4)$
次の式を計算しよう。
$(x - 2) (x - 6)$
次の式を計算しよう。
$(x + 3) (2 x + 1)$
次の式を計算しよう。
$(a + 2) (b - 3)$
次の式を計算しよう。
$(x + 2) (x - 5)$

3. 和と差の平方

真ん中の 2ab がどこから来るか説明しよう。

次の式を計算しよう。
${(x + 4)}^{2}$
次の式を計算しよう。
${(x - 3)}^{2}$
次の式を計算しよう。
${(2 x + 3)}^{2}$
次の式を計算しよう。
${(3 a - b)}^{2}$
次の式を計算しよう。
${(x + \frac{1}{2})}^{2}$
「(x＋3)²＝x²＋9」とした人がいるよ。抜けた項を補い、なぜ必要か説明しよう。
${(x + 3)}^{2}$

4. 和と差の積・平方の差

真ん中の項が打ち消し合うことを確かめよう。

次の式を計算しよう。
$(x + 7) (x - 7)$
次の式を計算しよう。
$(2 x + 5) (2 x - 5)$
次の式を計算しよう。
$(3 a - b) (3 a + b)$
次の式を因数分解しよう。
$x^{2} - 36$
次の式を因数分解しよう。
$4 x^{2} - 9$
「x²＋25＝(x＋5)(x−5)」は正しいかな。右辺を展開して判断しよう。
$(x + 5) (x - 5)$

5. 共通因数をくくる

すべての項に共通するかけ算の部分を見つけよう。

次の式を因数分解しよう。
$6 x + 18$
次の式を因数分解しよう。
$5 x^{2} - 15 x$
次の式を因数分解しよう。
$4 a b + 8 a$
次の式を因数分解しよう。
$- 3 x^{2} + 12 x$
次の式を因数分解しよう。
$a x + a y$
次の式を因数分解しよう。
$8 x^{2} y - 12 x y^{2}$

6. 和と積から因数を探す

「足していくつ、かけていくつ」を両方確かめよう。

次の式を因数分解しよう。
$x^{2} + 7 x + 12$
次の式を因数分解しよう。
$x^{2} - x - 12$
次の式を因数分解しよう。
$x^{2} - 9 x + 20$
次の式を因数分解しよう。
$x^{2} + 2 x - 15$
次の式を因数分解しよう。
$a^{2} + 10 a + 25$
次の式を因数分解しよう。
$x^{2} - 8 x + 16$

7. 公式を選んで仕上げる

共通因数 → 公式 → 展開で確認、の順に考えよう。

次の式を因数分解しよう。
$2 x^{2} - 18$
次の式を因数分解しよう。
$3 x^{2} + 18 x + 27$
次の式を因数分解しよう。
$2 x^{2} + 10 x + 12$
次の式を因数分解しよう。
$5 a^{2} - 20 a + 20$
次の式を計算しよう。
${(x + 2)}^{2} - (x + 1) (x - 1)$
次の式を計算しよう。
$(x + 4) (x - 2) - {(x + 1)}^{2}$

8. 数・面積・説明に使う

式を変えると、何が見やすくなるか説明しよう。

乗法公式を使って102²を計算し、使った公式を説明しよう。
$102^{2}$
49×51を、和と差の積の公式で計算しよう。
$49 \times 51$
一辺 x cm の正方形の縦と横を2 cmずつ長くした。増えた面積を求め、いつも4 cm²とは限らない理由を説明しよう。（x > 0）
${(x + 2)}^{2} - x^{2}$
長方形の面積は (x²＋8x＋15) cm²、縦は (x＋3) cm。面積の式を因数分解し、横の長さを求めよう。（x > 0）
$x^{2} + 8 x + 15$
連続する3つの整数で、最大の数の平方から最小の数の平方を引くと4の倍数になることを、文字を使って説明しよう。（n は整数）
${(n + 1)}^{2} - {(n - 1)}^{2}$
奇数の平方から1を引いた数は8の倍数になる。この理由を説明しよう。（n は整数）
${(2 n + 1)}^{2} - 1$

解答と解説

分けてかける・分けて割る

$3 x + 12$
3×x と3×4を足すと、3x＋12だよ。
$- 2 x + 10$
負×負は正なので、定数の項は＋10になるよ。
$2 x^{2} + 6 x$
x×x＝x²。2x×3＝6xだね。
$- 6 a^{2} + 3 a b$
−3a×(−b)＝＋3abだよ。
$3 x + 2$
12x²÷4x＝3x、8x÷4x＝2になるよ。
$- 3 a + 2$
−10b÷(−5b) は＋2。割り算でも符号を確かめよう。

2つのかっこを展開する

$x^{2} + 7 x + 10$
5x と2xをまとめると7xだよ。
$x^{2} - x - 12$
−4x＋3x＝−x、3×(−4)＝−12だね。
$x^{2} - 8 x + 12$
x の項は −6x−2x＝−8xだよ。
$2 x^{2} + 7 x + 3$
6x と x を足して7xにまとめよう。
$a b - 3 a + 2 b - 6$
−3a と2bは同類項ではないので、このまま残すよ。
$x^{2} - 3 x - 10$
2x−5x＝−3x。最後の項は−10になるね。

和と差の平方

$x^{2} + 8 x + 16$
x²＋2×x×4＋4² を計算しよう。
$x^{2} - 6 x + 9$
真ん中は−6x、最後は＋9だね。
$4 x^{2} + 12 x + 9$
(2x)²＝4x²、2×2x×3＝12xになるよ。
$9 a^{2} - 6 a b + b^{2}$
3a 全体を2乗するので、最初は9a²だよ。
$x^{2} + x + \frac{1}{4}$
真ん中は x、最後は1/4になるよ。
$x^{2} + 6 x + 9$
3xが2つあるから6xが必要。x＝1でも左辺16に対し x²＋9は10になり、誤りと分かるよ。

和と差の積・平方の差

$x^{2} - 49$
＋7x と−7xが打ち消し合い、7×(−7)＝−49が残るよ。
$4 x^{2} - 25$
(2x)² は2x²ではなく4x²だよ。
$9 a^{2} - b^{2}$
(3a)²−b² に直すと9a²−b²だね。
$(x + 6) (x - 6)$
展開すると＋6x−6x が消えて元に戻るよ。
$(2 x + 3) (2 x - 3)$
それぞれの平方のもとを取り、和と差の積にするよ。
$x^{2} - 25$
最後は5×(−5)＝−25。x²＋25とは一致しないよ。

共通因数をくくる

$6 (x + 3)$
6x÷6＝x、18÷6＝3だよ。
$5 x (x - 3)$
5xでくくると、かっこの中は x−3だね。
$4 a (b + 2)$
4ab÷4a＝b、8a÷4a＝2として見つけよう。元の等式はa＝0でも成り立つよ。
$- 3 x (x - 4)$
12x÷(−3x)＝−4。展開して符号を確かめよう。
$a (x + y)$
共通する a を前に出すと、かっこの中は x＋yだよ。
$4 x y (2 x - 3 y)$
4xy×2x と4xy×(−3y) に戻せることを確認しよう。

和と積から因数を探す

$(x + 3) (x + 4)$
3＋4＝7、3×4＝12。両方を満たしているね。
$(x + 3) (x - 4)$
−4＋3＝−1、−4×3＝−12になるよ。
$(x - 4) (x - 5)$
−4−5＝−9、(−4)(−5)＝20だね。
$(x + 5) (x - 3)$
5と−3なら、和も積も合っているよ。
${(a + 5)}^{2}$
和の平方の公式を逆向きに使うと (a＋5)²になるよ。
${(x - 4)}^{2}$
差の平方の形を見つけたね。展開すると元の3項に戻るよ。

公式を選んで仕上げる

$2 (x + 3) (x - 3)$
かっこの中が平方の差になるので、もう一段階因数分解できるよ。
$3 {(x + 3)}^{2}$
x²＋6x＋9＝(x＋3)²。外の3も忘れず残そう。
$2 (x + 2) (x + 3)$
2と3の組を使うよ。先にくくった2は消さないでね。
$5 {(a - 2)}^{2}$
a²−4a＋4＝(a−2)²だよ。
$4 x + 5$
−(x²−1)＝−x²＋1。x²が消えて4x＋5になるよ。
$-9$
x²も x の項も消えて、−8−1＝−9になるね。

数・面積・説明に使う

$10404$
100²＋2×100×2＋2² を使うと、筆算をせずに整理できるよ。
$2499$
和と差の積を使うと50²−1²になるよ。
$4 x + 4$
増えた面積は (4x＋4) cm²。x cm×2 cmの長方形が2つと、2 cm四方の正方形1つに分けても説明できるよ。
$(x + 3) (x + 5)$
面積は (x＋3)(x＋5) cm²。横は x＋5 cmと分かるよ。長さの単位はcmだね。
$4 n$
両端の整数は n−1 と n＋1。平方の差は4nで、nが整数だから4の倍数になるよ。具体例だけでなく、任意の整数 n で示せたね。
$4 n (n + 1)$
nと n＋1 は連続する整数なので、一方は偶数。積を2k（kは整数）と書けるから4n(n＋1)＝8kとなり、8の倍数だよ。